Če je vsota kvadratov dveh števil enaka 80 in kvadrat razlike med tema dvema je 36, kaj je potem produkt dveh števil?


Odgovor 1:

Odgovor je 22.

Naj bosta obe številki x in y.

Navedeni pogoji so:

  • Vsota kvadratov dveh številk je 80.x² + y² = 80Kvadrat razlike med tema dvema je 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Vzemite drugi pogoj in dobite vrednost za x².

  • x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Zamenjajte x² v prvem pogoju z izpeljano vrednostjo.

  • x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Tako je produkt obeh števil (x, y) 22.


Odgovor 2:

Prvi pogoj:

a2+b2=80a^2+b^2=80

Drugi pogoj:

(ab)2=36(a-b)^2=36

Iz drugega pogoja:

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

.

Zamenjava prvega pogoja:

802ab=3680-2ab=36

, reorganizacija

2ab=8036=442ab=80-36=44

Torej

2ab=442ab=44

in

ab=22ab=22

.

Odgovor: izdelek je 22.

V primeru, da želite rešiti celoten sistem: razlika je

36=6\sqrt{36}=6

, in izdelek je

2222

, tako za

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Torej, če dobimo rešitve za

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

lahko rešimo težavo.

Rešitev za

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

je

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Torej

a=31+3a=\sqrt{31}+3

in

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Zlahka je dokazati, da ti dve številki izpolnjujeta pogoje vprašanja in odgovora.


Odgovor 3:

Prvi pogoj:

a2+b2=80a^2+b^2=80

31+3 , 313\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3

(ab)2=36(a-b)^2=36

319=2231-9=22

a22ab+b2=36a^2-2ab+b^2=36

31+3 , 313-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3

Zamenjava prvega pogoja:

319=2231–9=22

, reorganizacija

x2+y2=80x^2+y^2=80

Torej

(xy)2=x22xyy2=36(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36

in

ab=22ab=22

2xy=442xy=44

xy=22xy = 22

V primeru, da želite rešiti celoten sistem: razlika je

36=6\sqrt{36}=6

, in izdelek je

2222

, tako za

a>ba>b

,

(x+a)(xb)=x2+(ab)xab(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab

. Torej, če dobimo rešitve za

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

lahko rešimo težavo.

Rešitev za

x2+6x22=0x^2+6x-22=0

je

x=6±36+882=3±31x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}

. Torej

a=31+3a=\sqrt{31}+3

in

b=313b=\sqrt{31}-3

.

Zlahka je dokazati, da ti dve številki izpolnjujeta pogoje vprašanja in odgovora.