Odgovor je 22.

Naj bosta obe številki x in y.

Navedeni pogoji so:

• Vsota kvadratov dveh številk je 80.x² + y² = 80Kvadrat razlike med tema dvema je 36. (xy) ² = 36x²-2xy + y² = 36

Vzemite drugi pogoj in dobite vrednost za x².

• x²-2xy + 2xy + y²-y² = 36 + 2xy-y²x² = -y² + 2xy + 36

Zamenjajte x² v prvem pogoju z izpeljano vrednostjo.

• x² + y² = 80 (-y² + 2xy + 36) + y² = 80y²-y² + 2xy + 36 = 802xy + 36–36 = 80–362xy ÷ 2 = 44 ÷ 2xy = 22

Tako je produkt obeh števil (x, y) 22.

Prvi pogoj:

$a^2+b^2=80$

Drugi pogoj:

$(a-b)^2=36$

Iz drugega pogoja:

$a^2-2ab+b^2=36$

.

Zamenjava prvega pogoja:

$80-2ab=36$

, reorganizacija

$2ab=80-36=44$

Torej

$2ab=44$

in

$ab=22$

.

Odgovor: izdelek je 22.

V primeru, da želite rešiti celoten sistem: razlika je

$\sqrt{36}=6$

, in izdelek je

$22$

, tako za

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

. Torej, če dobimo rešitve za

$x^2+6x-22=0$

lahko rešimo težavo.

Rešitev za

$x^2+6x-22=0$

je

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

. Torej

$a=\sqrt{31}+3$

in

$b=\sqrt{31}-3$

.

Zlahka je dokazati, da ti dve številki izpolnjujeta pogoje vprašanja in odgovora.

Prvi pogoj:

$a^2+b^2=80$

$\sqrt{31}+3~,~\sqrt{31}-3$

$(a-b)^2=36$

$31-9=22$

$a^2-2ab+b^2=36$

$-\sqrt{31}+3~,~-\sqrt{31}-3$

Zamenjava prvega pogoja:

$31–9=22$

, reorganizacija

$x^2+y^2=80$

Torej

$(x-y)^2=x^2–2xy-y^2=36$

in

$ab=22$

$2xy=44$

$xy = 22$

V primeru, da želite rešiti celoten sistem: razlika je

$\sqrt{36}=6$

, in izdelek je

$22$

, tako za

$a>b$

,

$(x+a)(x-b)=x^2+(a-b)x-ab$

. Torej, če dobimo rešitve za

$x^2+6x-22=0$

lahko rešimo težavo.

Rešitev za

$x^2+6x-22=0$

je

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36+88}}{2}=-3\pm\sqrt{31}$

. Torej

$a=\sqrt{31}+3$

in

$b=\sqrt{31}-3$

.

Zlahka je dokazati, da ti dve številki izpolnjujeta pogoje vprašanja in odgovora.